MATEMAKITA.COM | referensi online matematika

Pembuktian Rumus Deret Aritmatika

Kalau Kamu berpikir rumus matematika adalah hasil penemuan orang-orang yang berpendidikan tinggi saja, itu tidak sepenuhnya benar. Saya pernah mendengar dari guru saya yang mengatakan bahwa ada siswa sekolah dasar yang menemukan sebuah rumus matematika. Siswa sekolah dasar tersebut berkontribusi dalam menemukan rumus deret aritmatika. Ceritanya, guru dari siswa tersebut pernah memberikan tugas kepada siswa-siswanya kelasnya untuk menyelesaikan soal hitungan berikut.

1 + 2 + 3 + ... + 100

Guru tersebut memberikan tugas untuk mengisi kegiatan siswa pada saat dia ada keperluan ke luar kelas. Betapa kagetnya guru tersebut ketika ada seorang siswa yang bisa menyelesaikan soal yang diberikan dengan cara yang tidak biasa. Siswa tersebut memisalkan hasil penjumlahan sebagai sebuah peubah dan menggunakan sifat komutatif operasi penjumlahan dengan membalik urutan penjumlahan dari 100 menuju 1. Kemudian menjumlahkan kedua bentuk pemisalan. Dari cara tersebut diperoleh penjumlahan berulang bilangan 101 sebanyak 100 kali. Kira-kira jawabannya sebagai berikut.

S = 1 + 2 + 3 + ... + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 1
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101

Penjumlahan berulangan bilangan 101 sebanyak 100 kali di atas bisa disederhanakan sebagai operasi perkalian bilangan 100 dengan 101, sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

2S = 100 x 101
2S = 10100
S = 10100/2
S = 5050

Penyelesaian soal di atas adalah salah satu contoh penyelesaian deret aritmatika, karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan barisan aritmatika. Dari proses penyelesaian di atas, kita bisa memperoleh rumus untuk deret aritmatika yang lebih umum lagi.

Pengertian deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika. Rumus umum barisan aritmatika untuk suku ke-n dengan suku pertama a dan beda b adalah sebagai berikut.

Un = a + (n - 1)b

Barisan aritmatika untuk n suku pertama dapat ditulis sebagai berikut.

U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, a + (n - 1)b

Dengan menggunakan cara sebelumnya, kita misalkan jumlah n suku pertama barisan aritmatika di atas sebagai Sn.

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + [a + (n - 1)b]

Kita balik urutan dari Sn yang asalnya dari U1 menuju Un menjadi penjumlahan suku-suku dari Un menuju U1 sebagai berikut.

Sn = [a + (n - 1)b] + [a + (n - 2)b] + [a + (n - 3)b] + ... + a

Jika kedua bentuk Sn di atas dijumlahkan, kita akan memperoleh hasil sebagai berikut.

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + [a + (n - 1)b]
Sn = [a + (n - 1)b] + [a + (n - 2)b] + [a + (n - 3)b] + ... + a
2Sn = [2a + (n - 1)b] + [2a + (n - 1)b] + [2a + (n - 1)b] + ... + [2a + (n - 1)b]

Bentuk terakhir di atas merupakan penjumlahan berulang suku [2a + (n - 1)b] sebanyak n kali. Ini sama artinya dengan perkalian [2a + (n - 1)b] dengan n.

2Sn = n[2a + (n - 1)b]

Karena kita hanya memerlukan Sn saja sesuai dengan pemisalan di awal, berarti bilangan 2 yang menjadi koefisien Sn menjadi pembagi untuk bentuk pada ruas kanan sebagai berikut.

Sn = n/2[2a + (n - 1)b]

Dari rumus tersebut, kita masih bisa mengubahnya ke bentuk lain. Coba perhatikan bentuk berikut.

Sn = n[a + {a + (n - 1)b}]

Rumus yang terdapat dalam kurung kurawal adalah rumus suku ke-n barisan aritmatika, sehingga kita memperoleh rumus berikut ini.

Sn = n/2[a + Un]

Rumus pertama digunakan untuk mencari deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan beda barisan aritmatikanya. Sedangkan rumus kedua digunakan untuk mencari deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan suku ke-n barisan aritmatikanya.

Sekian pembahasan mengenai bukti rumus deret aritmatika. :-)

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Daftar Pokok Bahasan

Silakan gunakan kolom komentar di bawah jika ada yang ingin disampaikan. Komentar bisa berupa pertanyaan mengenai soal matematika, pembahasan matematika, dan sebagainya. Bisa juga berupa masukan atau saran. Mohon sampaikan jika terdapat kesalahan pada penulisan, gambar tidak muncul, atau tampilan website terlihat kacau.

comments powered by Disqus

Sumbangan untuk Pengembangan Website Matemakita

Bagi yang ingin menyumbang untuk pengembangan website matemakita.com melalui transfer rekening atau pengisian pulsa, silakan hubungi saya melalui menu kontak. Bagi yang ingin menyumbang melalui paypal, silakan gunakan tombol di bawah.

DMCA.com Protected by Copyscape Web Copyright Checker