MATEMAKITA.COM | referensi online matematika

Penggunaan Integral dalam Menentukan Luas Daerah di Bawah Kurva

Telah diungkapkan sebelumnya bahwa integral terdiri atas integral tak tentu dan integral tertentu. Yang membedakan keduanya terletak pada ada-tidaknya batas integral. Penggunaan integral, salah satunya adalah untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva. Untuk luas daerah yang teratur seperti persegi panjang dan segitiga, kita dapat langsung mencari luasnya dengan rumus yang tersedia. Tapi untuk bentuk kurva-kurva tertentu akan sangat sulit mencari luas daerahnya hanya dengan rumus. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan integral tertentu sebagai solusinya. Ada beberapa kemungkinan kurva yang akan dicari luas daerahnya. Luas di atas sumbu X, luas di bawah sumbu X, dan luas antara dua kurva. Mari kita bahas satu per satu.

Luas di atas sumbu X
Untuk menentukan luas daerah di atas sumbu X pertama adalah dengan menentukan batas-batasnya terlebih dahulu. Batas-batas daerah yang akan dicari luasnya kemungkinan diketahui atau kita yang mencarinya. Jika batas-batasnya belum diketahui tapi batas-batasnya merupakan titik perpotongan kurva dengan sumbu X, kita cukup mencari akar-akar dari fungsi kurvanya. Misal f(x) memotong sumbu X di dua titik, jadikan dulu f(x) = 0, kemudian cari nilai x yang memenuhi. Nilai x tersebut jadikan batas-batas untuk mencari luas daerahnya. Langkah kedua adalah dengan mengintegralkan f(x) dengan batas-batasnya. Berikut ini adalah rumus luas daerah di atas sumbu X menurut definisi integral tertentu dan dalam bentuk integral tertentu dengan batas-batasnya.

Luas di bawah sumbu X
Langkah untuk menentukan luas daerah kurva yang berada di bawah sumbu X mirip dengan langkah untuk menentukan luas daerah kurva di atas sumbu X. Hanya di sini bila kita menyelesaikan integralnya, kita akan mendapatkan nilai negatif. Tanda negatif ini diperoleh berdasarkan definisi integral tertentu untuk fungsi dengan kurva di bawah sumbu X. Yang kita butuhkan adalah nilai mutlak dari hasil integral yang kita dapatkan. Agar nilai integralnya positif, di awal penyelesaian integral, kita cantumkan tanda negatif agar hasil akhirnya menjadi tanda positif. Berikut ini gambar dan rumus dari luas daerah kurva di bawah sumbu X.

Luas antara dua kurva
Secara umum, penyelesaian luas daerah dengan menggunakan integral tertentu selalu mellibatkan batas. Batas-batas ada yang diketahui dan ada yang perlu dicari terlebih dahulu. Untuk mencari luas daerah antara dua kurva juga begitu. Pertama kita harus mencari batas-batas integralnya. Jika sudah diketahui seperti gambar di bawah, kita tinggal menggunakan batas bawah-batas atas untuk menyelesaikan integralnya. Jika belum diketahui biasanya dua kurvanya berpotongan di dua titik. Batas-batasnya merupakan titik potong kedua kurva tersebut. Untuk mencari perpotongannya, buat dulu persamaan f(x) = g(x) kemudian cari akar dari persamaan tersebut. Integran yang digunakan untuk mencari luas antara dua kurva adalah pengurangan fungsi yang terletak di atas dengan kurva yang terletak di bawahnya [f(x) - g(x)]. Jika sulit menentukan kurva mana yang di atas dan kurva mana yang di bawah cukup dengan membuat garis vertikal yang memotong kedua kurva tersebut. Kurva yang memotong garis di atas berarti kurva atasnya, begitu pun dengan kurva yang memotong garis vertikal di bawah, itulah kurva bawahnya. Berikut ini gambar dan rumus luas daerah antara dua kurva.

Luas daerah yang dibatasi garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat
Khusus untuk daerah antara kuvra garis-kuadarat atau kuadrat-kuadrat, ada "rumus cepatnya". Kita tidak perlu mencarinya dengan integral tertentu. Tapi ingat, ini "rumus cepat" ada syarat dan ketentuan yang berlaku. Rumus ini hanya dapat digunakan untuk daerah yang dibatasi oleh kurva garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat tanpa ada batas-batas lainnya. Kalau ada batas-batas lainnya rumus ini tidak berlaku


Dalam hal ini nilai a dan D=b2 - 4ac diperoleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yang merupakan persamaan persekutuan antara fungsi kuadrat dengan persamaan garis atau antara dua persamaan kuadrat.

Pembuktian rumusnya.
Rumus luas daerah antara garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat adalah sebagai berikut.
.
Persamaan persekutuan garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat di atas memiliki akar sebagai berikut.

Luas daerah antara garis-kuadrat atau kuadrat-kuadrat adalah sebagai berikut.

Untuk mencari luas dengan batas di sumbu Y, ubah terlebih dahulu fungsinya menjadi x=f(y), kemudian gunakan batas-batas di sumbu Y tersebut sebagai batas integral dan gunakan dy sebagai akhir dari integral, karena kita mengintegralkan terhadap peubah y.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Daftar Pokok Bahasan

Silakan gunakan kolom komentar di bawah jika ada yang ingin disampaikan. Komentar bisa berupa pertanyaan mengenai soal matematika, pembahasan matematika, dan sebagainya. Bisa juga berupa masukan atau saran. Mohon sampaikan jika terdapat kesalahan pada penulisan, gambar tidak muncul, atau tampilan website terlihat kacau.

comments powered by Disqus

Sumbangan untuk Pengembangan Website Matemakita

Bagi yang ingin menyumbang untuk pengembangan website matemakita.com melalui transfer rekening atau pengisian pulsa, silakan hubungi saya melalui menu kontak. Bagi yang ingin menyumbang melalui paypal, silakan gunakan tombol di bawah.

DMCA.com Protected by Copyscape Web Copyright Checker