Definisi Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat peubah tertingginya dua.
Bentuk umum persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0, a tidak sama dengan 0.
Akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Terdapat tiga cara untuk mencari akar persamaan kuadart.
- Memfaktorkan
- Melengkapkan Kuadrat Sempurna
- Menggunakan Rumus
Memfaktorkan
Faktorisasi atau pemfaktoran adalah menyatakan penjumlahan suku-suku bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Memfaktorkan persamaan kuadrat adalah membuat persamaan kuadrat tersebut menjadi perkalian dua persamaan linear. Contohnya adalah sebagai berikut.
- x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)
- 2x2 + 10x + 12 = (2x + 4)(x + 3)
Dua contoh persamaan kuadrat di atas difaktorkan secara langsung. Perhatikan bahwa ada dua bentuk persamaan kuadrat pada masing-masing contoh. Kadang kita menemukan berbagai bentuk persamaan kuadrat. Untuk masing-masing bentuk persamaan kuadrat tersebut, terdapat cara yang berbeda dalam memfaktorkannya. Agar lebih memahami mengenai faktorisasi, mari kita bahas satu per satu metode faktorisasi berikut ini.
Faktorisasi dengan Hukum Distributif
Faktorisasi dengan hukum distributif digunakan ketika pada masing-masing suku bentuk aljabar tedapat faktor (pengali) yang sama.
Hukum distributif ini pernah dipelajari ketika belajar operasi perkalian bentuk aljabar. Perhatikan kembali hukum distributif berikut ini.
a(b + c) = ab + ac
Karena bentuk di atas dipisahkan oleh operasi sama dengan “=” maka kedua ruas tersebut berlaku bolak-balik. Artinya, jika kita menemukan faktor (pengali) yang sama di setiap suku pada bentuk aljabar, bisa kita faktorkan dengan cara hukum distributif. Perhatikan contoh berikut ini.
4a + 8
Kedua suku tersebut memiliki pengali yang sama, yaitu 4. Suku pertama dikalikan a dan suku kedua dikalikan 2. Sehingga bentuk aljabar tersebut bisa disederhanakan menjadi
4a + 4.2
Melalui hukum distributif, bentuk tersebut dapat diubah menjadi
4a + 4.2 = 4(a + 2)
9p3 + 18p5
Masing-masing suku pada bentuk aljabar di atas memiliki pengali yang sama, yaitu 9p3, sehingga dapat difaktorkan dengan hukum distributif sebagai berikut.
9p3 + 18p5 = 9p3 + 2.9p3p2 = 9p3(1 + 2p2)
p(p + q) – 2q(p + q)
Perhatikan bahwa setiap suku pada bentuk aljabar tersebut mempunyai pengali yang sama, yaitu (p + q), sehingga dengan menggunakan hukum distributif, diperoleh faktor sebagai berikut.
p(p + q) – 2q(p + q) = (p + q)(p – 2q)
Persamaan kuadrat yang difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif biasanya adalah persamaan kuadrat tanpa konstanta. Contoh persamaan kuadrat yang difaktorkan dengan hukum distributif adalah sebagai berikut.
x2-4x=x(x-4)
3x2+18x=3x(x+6)
Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat
Sebelum membahas bagaimana memfaktorkan bentuk selisih dua kuadrat, kita lihat dulu yang satu ini. Dengan menggunakan hukum distributif, coba kita uraikan bentuk perkalian (x+y)(x-y).
Bentuk terakhir itulah yang disebut dengan selisih dua kuadrat. Faktorisasi selisih dua kuadrat adalah membalik dari bentuk selisih dua kuadrat menjadi perkalian faktor-faktornya. Berarti, bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa selisih dua kuadrat cuma terdiri dari dua suku dan dioperasikan dengan operasi pengurangan. Kayaknya untuk bentuk yang ini cukup mudah memfaktorkannya. Kita langsung saja ke contoh soal dan pembahasannya.
Faktorisasi Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat kadang bisa difaktorkan dengan mudah, kadang harus difaktorkan dengan metode tertentu. Berikut ini jenis-jenis faktorisasi bentuk umum persamaan kuadrat beserta cara memfaktorkannya.
Bentuk ax2 + bx + c (Untuk a = 1)
Cara pemfaktoran untuk persamaan kuadrat di atas adalah sebagai berikut.
x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + mn
dengan mn = c dan m + n = b
Faktornya menjadi
x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
Contohnya sudah dikemukakan di awal, yaitu sebagai berikut.
x2 + 2x – 3 = 0
(x – 1)(x + 3) = 0
Bentuk ax2 + bx + c (Untuk a tidak sama dengan 1)
Berikut cara memfaktorkannya:
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
dengan pq = ac dan p + q = b
contoh:
3x2 + 14x + 15
= 3x2 + 5x + 9x + 15
= x(3x + 5) + 3(3x + 5)
= (x + 3)(3x + 5)
Cara lain memfaktorkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c (a tidak sama dengan 1)
ax2 + bx + c = 1/a(ax + m)(ax + n)
dengan mn = ac dan m + n = b
contoh:
3x2 + 14x + 15
= 1/3(3x + 9)(3x + 5)
= 1/3[3](x + 3)(3x + 5)
= (x + 3)(3x + 5)
Bentuk x2+2xy+y2
Bentuk ini disebut bentuk kuadrat sempurna. Perhatikan ciri-cirinya. Di sana ada suku dengan bentuk kuadrat yaitu x2 dan y2 dan suku 2xy yang sama dengan 2 dikalikan masing-masing akar x2 dan y2. Cara memfaktorkannya cukup mudah, yaitu sebagai berikut.
x2+2xy+y2=(x+y)2
Cukup kita menuliskan kuadrat dari penjumlahan akar bentuk kuadratnya.
Contoh:
x2+6x+9=x2+2(x)(3)+32=(x+3)2
Itulah metode-metode faktorisasi untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadrat. Tidak perlu bingung memilih mana yang harus digunakan ketika memfaktorkan. Saya membahas beberapa metode faktorisasi di atas untuk memudahkan saja. Pada kasus tertentu kita tidak perlu susah-susah menfaktorkan. Intinya yang harus dipahami betul dalam memfaktorkan persamaan kuadrat ini adalah faktorisasi persamaan kuadrat dengan bentuk Bentuk ax2+bx+c untuk a=1 atau a tidak sama denga 1. Jika paham cara memfaktorkan bentuk tersebut, bentuk lainnya bisa dipahami dengan mudah.
Setelah mengetahui faktornya, dengan mudah kita bisa mencari akarnya. Persamaan kuadrat jika sudah dalam bentuk faktor-faktor, akarnya dapat dicari dengan cara membuat masing-masing faktor sama dengan nol, setelah itu cari nilai dari peubah x. Contoh mencari akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkannya terlebih dahulu adalah sebagai berikut.
- x2 + 2x – 3 = 0
(x – 1)(x + 3) = 0
x = 1 atau x = -3 - 2x2 + 10x + 12 = 0
(2x + 4)(x + 3) = 0
x = -2 atau x = -3 - x2 – 9 = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x = 3 atau x = -3 - x2 – 10x + 25 = 0
(x – 5)2 = 0
x = 5
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Teknik melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik untuk mendapatkan bentuk kuadrat dari sebuah bilangan. Langkah terakhir dari teknik kuadrat sempurna adalah mendapatkan bentuk
(x – a)2 = p.
Perhatikan contoh berikut tentang bagaimana mendapatkan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Menggunakan Rumus
Rumus akar persamaan kuadrat sebenarnya didapatkan dari bentuk umum persamaan kuadrat dan diturunkan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Berikut ini adalah rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat secara langsung.
Penggunaan rumus dalam menyelesaikan akar persamaan kuadrat adalah cara yang paling mudah. Kita tinggal substitusi koefisien x2 ke a, koefisien x ke b, dan konstanta ke c. Perhatikan contoh di bawah ini.
Bonus: Pembuktian rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah salah satu dasar dari matematika yang perlu dipahami karena sangat bermanfaat dalam beberapa penyelesaian soal. Dalam penyelesaian akhir persamaan kuadrat diperoleh akar (akar-akar). Untuk memperoleh akar (akar-akar) persamaan kuadrat, ada tiga cara yang dapat digunakan, yaitu dengan memfaktorkan, dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, dan dengan menggunakan rumus. Dua cara yang terakhir yaitu metode kuadrat sempurna dan rumus mempunyai hubungan yang erat. Rumus akar persamaan kuadrat diperoleh dari metode kuadrat sempurna terhadap bentuk umum persamaan kuadrat.
Dengan menggunakan rumus, akar (akar-akar) persamaan kuadrat
adalah sebagai berikut.
Sekarang kita buktikan rumus tersebut dengan menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna.
Sebelum ke pembuktian utama, kita pahami terlebih dahulu bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna yang dimaksud adalah x2=p. Dari bentuk tersebut, dapat diperoleh secara langsung nilai x. Tapi dalam beberapa masalah, mendapatkan bentuk seperti itu sangatlah susah. Secara umum, bentuk kuadrat sempurna adalah (x+p)2=q.
Sebuah persamaan kuadrat yang tidak memiliki konstanta bisa diubah menjadi sebuah persamaan kuadrat sempurna [(x+p)2] dengan cara menambahkan kuadrat dari setengah koefisien x persamaan kuadrat tersebut. Simak pembahasan berikutnya.
Kita tahu bahwa x2+2px+p2=(x+p)2
Apabila p = 1/2 m, persamaan di atas menjadi
x2+mx+(1/2 m)2=(x+1/2 m)2
Dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna dari x2+mx adalah dengan menambahkan (1/2 m)2, sehingga diperoleh bentuk kuadrat sempurna (x+1/2 m)2.
Simak pembuktian berikut ini.
wah ane udah lupa semua..padahal mau ujian STAN
Sok atuh belajar lagi matematikanya. Dicicil aja belajarnya, gak usah sekaligus
tentukan nilai a, jika kedua akar persamaan x^2 + (2a-6)x – 9 = 0 saling berlawanan (x1= -x2
Gunakan konsep penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat.
x1=-x2
x1+x2=0
-(2a-6)/1=0
2a=6
a=3
Aku mau nanya, kalo ini gimana cara nya
1).akar-akar persamaan kuadrat. X kuadrat di ambil 2x di tambah 5=0 adalah alpha dan beta. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar2 nya (alpha+2) dan (beta+2) !
Untuk teori mengenai persamaan kuadrat baru, bisa dibaca di post berikut.
http://matemakita.com/persamaan-dan-fungsi-kuadrat/menyusun-persamaan-kuadrat-baru/
Jawaban pertanyaan di atas adalah sebagai berikut.
x+(\alpha+2)(\beta+2)=0\\ x^2-(\alpha+\beta+4)x+(\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4)=0)
x+(5+2(2)+4)=0\\ \Leftrightarrow x^2-6x+13=0)
Selanjutnya gunakan konsep penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.
Mau baca-baca tentang SPLDV dimana ya alamat nya?
Mohon maaf, tulisan tentang SPLDV belum saya post di sini. Kalau ada yang perlu ditanyakan tentang materi tersebut, silakan sampaikan lewat http://forum.matemakita.com
Ka opan, ini soal yang kemaren. Tentukan rumus fungsi kuadrat yang bernilai nol x=1, x=3 serta mempunyai nilai maksimal 3. Berarti kan memotong sumbu x di (1,0) dan (3,0) dan mempunyai puncak (1,5,3) nah terus gimana-_-dapet puncaknya ituteh dr mana? makasiih
Sudah betul mengenai titik potong dengan sumbu X. Tapi diketahui mempunyai nilai maksimal 3 belum cukup untuk mencari fungsi kuadratnya, harus ada sumbu simetrinya. Sumbu simetri pasti berada diantara kedua titik potong dengan sumbu X. Sumbu simetrinya adalah x=2 (berada diantara x=1 dan x=3). Sumbu simetri ini pasangan untuk nilai maksimal 3. Jadi fungsi kuadrat yang kita cari adalah fungsi kuadrat yang melalui (1,0) dan (3,0) dan mempunyai titik puncak (2,3).
y=a(x-1)(x-3)
a dicari dari informasi melalui (2,3)
3=a(2-1)(2-3)
a=-3
Substitusi nilai a ke fungsi kuadrat y=a(x-1)(x-3)
y=-3(x-1)(x-3)
y=-3(x2-4x+3)
y=-3x2+12x-9
saya masih bngung ,.
dgn fungsi kuadrat ,. dengan gambar ,.,.
gsmbar U=ples U kebalik =min ,
Maksudnya, kalau koefisien x2 positif, gambar kurvanya terbuka ke atas. Sedangkan kalau koefisien x2 negatif, gambar kurvanya terbuka ke bawah.
tolong dibantu ya…
sebuah rumah makan mematok harga 17.000 dewasa dan 11.000 untuk anak-anak sekali makan di rumah makan tersebut, jika suatu hari rumah makan tersebut menutup rumah makan itu dan mendapatkan uang sejumlah 399.000, berapa jumlah anak-anak yang mungkin makan di rumah makan itu?
Itu di soalnya gak ada informasi tambahan? Seperti berapa jumlah orang dewasa dan anak-anak.
dari soal dapat dibuat persamaan:
17.0000x + 11.000y = 399.000
x untuk dewasa dan y untuk anak2
setelah disederhanakan, kita rubah ke dalam bentuk
y = (399 – 17x)/11
spy x dan y berbentuk bilangan asli (karena banyak anak2 atw dewasa tidak mungkin bilangan desimal: misal banyak dewasa tidak boleh 1,5). maka didapat x= 6, dan y = 27. jadi banyaknya anak2 yg mungkin 27 orang. semoga membantu. ^^
Terima kasih bantuannya Yudi.
Btw, lain kali kalau ingin bertanya mohon sesuaikan dengan topiknya. Hehehe. Kalau pertanyaannya di luar topik, silakan post pertanyaannya melalui forum matematika
tolong bantu bang:
Jika a dan b adalah bilangan riil tidak nol yg memenuhi 5a^2 – 40ab + 16b^2 = 0 , maka a/b=….
a. 4/5
b. 5/4
c. -4/5
d. -5/4
Saya dapat jawabannya tidak ada di pilihan. Coba cek jawaban saya.
^2=\frac{64}{5}b^2\\ a-4b=\frac{8}{\sqrt5}b\\ a=\frac{8}{\sqrt5}b+4b\\ \frac{a}{b}=\frac{8+4\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{8\sqrt5+20}{5})